Question

【題目】如圖，分別是可活動的菱形和平行四邊形學具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長相等．

（1）在一次數學活動中，某小組學生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，經過點，連接交于點，觀察發現：點是的中點．

下面是兩位學生有代表性的證明思路：

思路１：不需作輔助線，直接證三角形全等；

思路2：不證三角形全等，連接交于點．、

……

請參考上面的思路，證明點是的中點（只需用一種方法證明）；

（2）如圖2，在（1）的條件下，當時，延長、交于點，求的值；

（3）在（2）的條件下，若（為大于的常數），直接用含的代數式表示的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）證法一，利用菱形性質得AB=CD，AB∥CD，利用平行四邊形的性質得AB=EF，AB∥EF，則CD=EF，CD∥EF，再根據平行線的性質得∠CDM=∠FEM，則可根據“AAS”判斷△CDM≌△FEM，所以DM=EM；

證法二，利用菱形性質得DH=BH，利用平行四邊形的性質得AF∥BE，再根據平行線分線段成比例定理得到=1，所以DM=EM；

（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，設AD=a，CM=b，則FM=b，EF=AB=a，再證明四邊形ABCD為正方形得到AC=a，接著證明△ANF為等腰直角三角形得到NF=a+b，則NE=NF+EF=2a+b，然后計算的值；

（3）由于，則，然后表示出，再把代入計算即可．

試題解析：（1）如圖1，

證法一：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD，AB∥CD，

∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AB=EF，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中

，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即點M是DE的中點；

證法二：∵四邊形ABCD為菱形，∴DH=BH，

∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AF∥BE，

∵HM∥BE，∴=1，∴DM=EM，

即點M是DE的中點；

（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，

設AD=a，CM=b，

∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，

∵四邊形ABCD為菱形，∴∠NAF=45°，

∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=AD=a，

∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，

∴△ANF為等腰直角三角形，

∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，

∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴；

（3）∵，∴，

∴