Question

如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．
（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；
（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最�。┲�

Answer 1

解：（1）證明：連接AC，如下圖所示，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∵在△ABE和△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；  
（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發生變化．
理由：
由（1）得△ABE≌△ACF， 則S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點，則BH=2，
S_{四邊形AECF}=S_△ABC=BC*AH=BC*=4，
由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．
故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，
又S_△CEF=S_{四邊形AECF}﹣S_△AEF，
則此時△CEF的面積就會最大．
∴S_△CEF=S_{四邊形AECF}﹣S_AEF=4﹣×2×=