Question

【題目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直線l經過直角頂點C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D、E．

（1）如圖，若AD＝1，BE＝3，求DE的長度．

（2）當直線l繞C點轉動時，若AD＝a，BE＝b．請畫出示意的圖形并用含a、b的代數式直接表示出DE的長．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析.

【解析】

（1）證明△ACD≌△CBE（AAS）．得出CD＝BE＝3，AD＝CE＝1，即可得出答案；

（2）分三種情況討論，分別作出圖形，證明△ACD≌△CBE（AAS），得出CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，然后表示出DE即可.

解：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥l于D，BE⊥l于E，

∴∠DCA+∠BCE＝90°，

又∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

又∠ADC＝∠CEB＝90°，且AC＝BC，

在△ACD與△CBE中，，

∴△ACD≌△CBE（AAS）．

∴CD＝BE＝3，AD＝CE＝1，

∴DE＝CD﹣CE＝3﹣1＝2；

（2）分三種情況：

①如圖1所示：

同（1）得：∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，

∴DE＝CD﹣CE＝b﹣a；

②如圖2所示：

同（1）得：△ACD≌△CBE（AAS）．

∴CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，

∴DE＝CE﹣CD＝a﹣b；

③如圖3所示：

同（1）得：△ACD≌△CBE（AAS）．

∴CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，

∴DE＝CE+CD＝a+b．