Question

【題目】（猜想）　如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG.試猜想線段BG和AE的數量關系是 ；

（探究）　如圖2，正方形DEFG繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜360°）．試判斷你猜想的結論是否仍然成立，請利用圖2證明你的結論；

（應用）　在圖2中，BC＝DE＝4.當AE取最大值時，AF的值為多少？

Answer 1

【答案】【猜想】　BG＝AE；【探究】成立，證明詳見解析；【應用】　2.

【解析】

【猜想】

：由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；
【探究】如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；
【應用】可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結論．

解：【猜想】　如圖1，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，

,

∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE．
故答案為：BG=AE；

【探究】

成立，BG＝AE.理由如下：

如圖2，連接AD.

∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點，

∴AD＝BD，AD⊥BC.

∴∠ADG＋∠GDB＝90°.

∵四邊形EFGD為正方形，

∴DE＝DG，且∠GDE＝90°.

∴∠ADG＋∠ADE＝90°.

∴∠BDG＝∠ADE.

在△BDG和△ADE中，

∴△BDG≌△ADE（SAS）．

∴BG＝AE.

【應用】

∵BG＝AE，

∴當BG取得最大值時，AE取得最大值．

如圖3，當旋轉角為270°時，BG＝AE.

∵BC＝DE＝4，

∴BG＝2＋4＝6.

∴AE＝6.

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF＝＝＝2.