Question

如圖,AB是半圓O的直徑,C為半圓上一點,過C作半圓的切線,連接AC, 作直線AD,使∠DAC=∠CAB,AD交半圓于E,交過C點的切線于點D.

(1)試判斷AD與CD有何位置關系,并說明理由;

(2)若AB=10,AD=8,求AC的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）AD⊥CD；（2）

【解析】

試題分析：(1)連接OC，則OC⊥CD，由OA=OC可得∠OAC=∠OCA，即可得到∠DAC=∠OCA，再根據平行線的性質即可得到結果；

(2)連接BC,根據圓周角定理可得∠ACB=90°，證得△ACD∽△ABC，根據相似三角形的性質即可求得結果.

(1)連接OC

則OC⊥CD.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

又∠OAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠OCA,

∴AD∥OC,

∴AD⊥CD.

(2)連接BC

則∠ACB=90°

由(1)得∠ADC=∠ACB,

又∠DAC=∠CAB.

∴△ACD∽△ABC,

∴,即AC²=AD·AB=80,故AC=.

考點：切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質

點評：輔助線問題是初中數學學習中的難點，能否根據具體情況正確作出恰當的輔助線往往能夠體現一個學生對圖形的理解能力，因而這類問題在中考中比較常見，在各種題型中均有出現，一般難度較大，需多加關注.