Question

【題目】如圖①，在中，，．點分別是邊上的動點，連接．設（），，與之間的函數關系如圖②所示．

（1）求出圖②中線段所在直線的函數表達式；

（2）將沿翻折，得．

①點是否可以落在的某條角平分線上?如果可以，求出相應的值；如果不可以，說明理由；

②直接寫出與重疊部分面積的最大值及相應的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②與重疊部分面積的最大值為8，此時x＝4．

【解析】

（1）利用待定系數法將（3，4）和（6，0）代入y＝kx＋b即可求得直線函數關系式；

（2）①根據題意可證△DCE∽△ACB，進而可得點M在CT上，且點M不在∠ACB的平分線上，接下來分類討論，當點M在∠CAB的平分線上或在∠CBA的平分線上時，畫出相應的示意圖，利用角平分線定理計算即可；

②首先考慮當點M與點T重合時的x的值，進而對x分類討論，畫出相應的示意圖，利用相似三角形的性質把重疊部分的面積表示出來，再利用二次函數的頂點式即可求得最大值．

解：（1）設直線PQ為y＝kx＋b，

將（3，4）和（6，0）代入，得

解得：

∴直線PQ為；

（2）①過點C作CT⊥AB，垂足為點T，

∵，

∴在Rt△ABC中，，

∵

∴

∴，

∴在Rt△ACT中，，

∴，

由（1）可知，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵∠DCE＝∠ACB，

∴△DCE∽△ACB，

∴∠DEC＝∠ABC，

∴DE∥AB，

∵折疊，

∴點M在CT上，且點M不在∠ACB的平分線上，

∵，

∴在Rt△CDE中，，

∵

∴

∴

∴，，

如圖，當點M在∠CAB的平分線上時，即AM平分∠CAT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

如圖，當點M在∠CBA的平分線上時，即BM平分∠CBT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

綜上所述，x的值為或；

②設與重疊部分面積為S，

如圖，當點M與點T重合時，

∵折疊，

∴CD＝DT，

∴∠DCT＝∠DTC，

∵∠ATC＝90°，

∴∠DCT＝∠A90°，∠DTC＝∠DTA＝90°，

∴∠A＝∠DTA，

∴DA＝DT，

∴DA＝DC＝AC＝3，

∴當0＜x≤3時，如圖，

則

∵0＜x≤3，

∴當x＝3時，S取得最大值，最大值為6，

當3＜x≤6時，如圖，

∵，

∴，

∵DE∥AB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

，

∴當x＝4時，S取得最大值，最大值為8，

綜上所述，與重疊部分面積的最大值為8，此時x＝4．