Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．點D，E分別是邊AC，BC上的動點，連接DE．設CD＝x（x＞0），BE＝y，y與x之間的函數關系如圖②所示．

（1）求出圖②中線段PQ所在直線的函數表達式；

（2）將△DCE沿DE翻折，得△DME．

①點M是否可以落在△ABC的某條角平分線上？如果可以，求出相應x的值；如果不可以，說明理由；

②直接寫出△DME與△ABC重疊部分面積的最大值及相應x的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+8；（2）①當x＝或x＝時，點M落在△ABC的某條角平分線上；②當x＝4時，△DME與△ABC重疊部分面積的最大值為8．

【解析】

（1）設線段PQ所在直線的函數表達式為y＝kx+b，將P（3，4）和Q（6，0）代入可求得答案；

（2）①連接CM并延長CM交AB于點F，證明△DCE∽△ACB，得出∠DEC＝∠ABC，則DE//AB，求出CF＝，CM＝，MF＝，過點M作MG⊥AC于點M，過點M作MH⊥BC于點H，證得△CGM∽△BCA，則，可得出MG，CG，分三種不同情況可求出答案；

②分兩種情形，當0＜x≤3時，當3＜x≤6時，求出△DME與△ABC重疊部分面積的最大值即可．

解：（1）設線段PQ所在直線的函數表達式為y＝kx+b，

將P（3，4）和Q（6，0）代入得，

，解得，

∴線段PQ所在直線的函數表達式為；

（2）①如圖1，

連接CM并延長CM交AB于點F，

∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，

∴AC＝＝6，

由（1）得BE＝，

∴CE＝，

∴，

∵∠DCE＝∠ACB，

∴△DCE∽△ACB，

∴∠DEC＝∠ABC，

∴DE//AB，

∵點C和點M關于直線DE對稱，

∴CM⊥DE，

∴CF⊥AB，

∵，

∴6×8＝10×CF，

∴CF＝,

∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝，

∴DE＝，

∴CM＝，MF＝，

過點M作MG⊥AC于點M，過點M作MH⊥BC于點H，

則四邊形GCHM為矩形，

∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，

∴∠GCM＝∠ABC，

∵∠MGC＝∠ACB＝90°，

∴△CGM∽△BCA，

∴，

即，

∴MG＝，CG＝，

∴MH＝，

（Ⅰ）若點M落在∠ACB的平分線上，則有MG＝MH，即，解得x＝0（不合題意舍去），

（Ⅱ）若點M落在∠BAC的平分線上，則有MG＝MF，即，解得x＝，

（Ⅲ）若點M落在∠ABC的平分線上，則有MH＝MF，即，解得x＝．

綜合以上可得，當x＝或x＝時，點M落在△ABC的某條角平分線上．

②當0＜x≤3時，點M不在三角形外，△DME與△ABC重疊部分面積為△DME的面積，

∴，

當x＝3時，S的最大值為．

當3＜x≤6時，點M在三角形外，如圖2，

由①知CM＝2CQ＝，

∴MT＝CM﹣CF＝，

∵PK//DE，

∴△MPK∽△MDE，

∴ ，

∴，

∵，

∴，

即：，

∴當x＝4時，△DME與△ABC重疊部分面積的最大值為8．

綜合可得，當x＝4時，△DME與△ABC重疊部分面積的最大值為8．