Question

【題目】如圖，在中，，，，以邊的中點為圓心作半圓，使與半圓相切，點分別是邊和半圓上的動點，連接，則長的最大值與最小值的和是（ ）

A.8B.9C.10D.12

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖，設⊙O與BC相切于點E，連接OE，作OP1⊥AC垂足為P1交⊙O于Q1，此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OQ1-OP1，如圖當Q2在AB邊上時，P2與A重合時，P2Q2最大值，由此不難解決問題．

解：如圖，設⊙O與BC相切于點E，連接OE，作OP1⊥AC垂足為P1交⊙O于Q1，
此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OQ1-OP1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，
∵∠OP1A=90°，∴OP1∥BC．
∵O為AB的中點，∴P1C=P1A，OP1=BC=3．

又∵BC是⊙O的切線，∴∠OEB=90°，

∴OE∥AC,又O為AB的中點，

∴OE=AC=4=OQ1．
∴P1Q1最小值為OQ1-OP1=4-3=1，
如圖，當Q2在AB邊上時，P2與A重合時，P2Q2經過圓心，經過圓心的弦最長，
P2Q2最大值=AO+OQ2=5+4=9，
∴PQ長的最大值與最小值的和是10．
故選：C．