Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（k+1）x+ k2+1=0．
（1）當k取何值方程有兩個實數根．
（2）是否存在k值使方程的兩根為一個矩形的兩鄰邊長，且矩形的對角線長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△=[﹣（k+1）]2﹣4×（ k2+1）=2k﹣3≥0，

∴k≥

（2）解：設方程的兩根為x1、x2

∴x12+x22=5，

∵x1+x2=k+1，x1x2= k2+1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（k+1）2﹣2×（ k2+1）=5，解得k1=﹣6，k2=2，

∵x1+x2=k+1＞0，

∴k＞﹣1，

∴k=2

【解析】（1）根據判別式是非負數，這樣就可以確定k的取值范圍；（2）設方程的兩根為x1 ， x2 ， 依題意x12+x22=5，又根據根與系數的關系可以得到x1+x2=k+1，x1x2= k2+1，而x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2 ， 這樣利用這些等式變形即可求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解求根公式(根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根)，還要掌握根與系數的關系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商)的相關知識才是答題的關鍵．