Question

【題目】如圖，已知直角△ABC中，∠ABC=90°，BC為圓O的直徑，D為圓O與斜邊AC的交點，DE為圓O的切線，DE交AB于F，且CE⊥DE．

（1）求證：CA平分∠ECB；

（2）若DE=3，CE=4，求AB的長；

（3）記△BCD的面積為S1，△CDE的面積為S2，若S1：S2=3：2．求sin∠AFD的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2） ；（3）.

【解析】

（1），連接OD，由DE是⊙O的切線可知OD⊥DE，由CE⊥DE，可知OD∥CE，進而可知∠ECD=∠CDO，因為∠CDO=∠DCO，所以∠ECD=∠DCO，即可證明.（2）連接BD，根據勾股定理可求出CD=5，所以tan∠ECD= = ，在根據各直角三角形中各邊的函數關系即可求出AB的長.（3）過點D作DG⊥BC于G，由CA∠BCE，可知DG=DE，進而△CDG≌△CDE根據S1：S2=3：2得 ，得 ，所以BC=3BG，OD=OC= BC=BG，根據勾股定理可求出DG得長，進而可求出sin∠DOG的值，根據四邊形內角和可知∠AFD=∠DOG，即可求出sin∠AFD的值．

（1）如圖，連接OD，

∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∵CE⊥DE，

∴OD∥CE，

∴∠ECD=∠CDO，

∵∠CDO=∠DCO，

∴∠ECD=∠DCO，

∴CA平分∠ECB；

（2）如圖，連接BD，∵BD為直徑，

∴∠BDC=90°，

在Rt△CED中，DE=3，CE=4，根據勾股定理得，DC=5，

∴tan∠ECD==，

∴BD=DCtan∠DCB=，

∵∠BCD+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，

∴∠BCD=∠ABD，

在Rt△CDE中，cos∠DCE==，

∴cos∠BCD=，

∴cos∠ABD=，

在Rt△ABD中，cos∠ABD==，

∴AB=×=；

（3）如圖，

過點D作DG⊥BC于G，

∵CA平分∠BCE，

∴DG=DE，

易知，△CDG≌△CDE，

∴S2=S△CDG=S△CDE，

∵S1：S2=3：2，

∴，

∴，

∴，

設BG=x，則CG=2x，

∴BC=BG+CG=3x，

∴OD=OC=BC=x，

∴OG=CG﹣OC=2x﹣x=x，

在Rt△ODG中，根據勾股定理得，DG=x，sin∠DOG== = ，

在四邊形OBFD中，根據四邊形內角和得，∠BFD+∠DOG=180°，

∵∠AFD+∠BFD=180°，

∴∠AFD=∠DOG，

∴sin∠AFD= ．