Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，點與點關于軸對稱，點是軸上的一個動點，設點的坐標為，過點作軸的垂線交拋物線于點．

（1）求點，點，點的坐標；

（2）求直線的解析式；

（3）在點的運動過程中，是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點的坐標為或或

【解析】

（1）根據函數解析式列方程即可得到結論；
（2）由點C與點D關于x軸對稱，得到D（0，-2），解方程即可得到結論；
（3）設點Q的坐標為（m，- m+2），分兩種情況：①當∠QBD=90°時，根據勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合題意，舍去），②當∠QDB=90°時，根據勾股定理列方程求得m=8，m=-1，于是得到結論．

解：（1）當時，，即點坐標為；

當時，即，

解得，

即．

（2）∵點與點關于軸對稱，

．

設直線的解析式為，

將點坐標代入解析式，

得解得

∴直線的解析式為y=x-2．

（3）存在．∵點的坐標為軸交拋物線于點，

∴點的坐標為．

是以為直角邊的直角三角形，

①當時，由勾股定理，得，

即，

解得（不符合題意，舍去），

；

②當時，由勾股定理，得，

即，

解得，

或．

綜上所述，存在點的坐標為或或，使是以為直角邊的直角三角形．