Question

我們學習了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x²+x-2=0可以通過因式分解化為：（x-1）（x+2）=0，則方程的兩個解為x=1和x=-2．反之，如果x=1是某方程ax²+bx+c=0的一個解，則多項式ax²+bx+c必有一個因式是 （x-1），在理解上文的基礎上，試找出多項式x³+x²-3x+1的一個因式，并將這個多項式因式分解．

Answer 1

解：∵x=1是方程x³+x²-3x+1=0的一個解，
∴多項式x³+x²-3x+1的一個因式是x-1，
設x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+ax-1），
∴x³+x²-3x+1=x³+ax²-x²-ax-x+1=x³+（a-1）x²+（-a-1）x+1，
∴1=a-1，-3=-a-1，
解得：a=2，
∴x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+2x-1），
即多項式x³+x²-3x+1的另一個因式是x²+2x-1，這個多項式因式分解為x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+2x-1）．
分析：由已知得出多項式x³+x²-3x+1的一個因式是x-1，設x³+x²-3x+1=（x-1）（x²+ax-1），展開后根據對應系數相等得出1=a-1，-3=-a-1，求出a即可．
點評：本題考查了解一元二次方程-因式分解法和因式分解的應用，主要考查學生的理解能力和閱讀能力，題目比較好，但有一定的難度．