Question

2．⊙O的內接正六邊形的邊心距是2，求該圓內接正三角形的邊心距．

Answer 1

分析 連接OA、OB，作OM⊥AB于M，證出△AOB是等邊三角形，得出∠OAB=60°，由三角函數求出半徑OA，連接OE，作ON⊥AE于N，由正三角形的性質得出∠AOE=60°，由等腰三角形的性質求出∠OAE=30°，由含30°角的直角三角形的性質求出ON即可．

解答 解：如圖所示：AB為⊙O的內接正六邊形的一條邊，AE是⊙O的內接正三角形的一條邊，
連接OA、OB，作OM⊥AB于M，
則∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OA=$\frac{OM}{sin60°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
連接OE，作ON⊥AE于N，
則∠AOE=$\frac{360°}{3}$=120°，
∵OE=OA，
∴∠OAE=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
即⊙O的內接正三角形的邊心距為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、正三角形的性質、等腰三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質；由正六邊形的性質和三角函數求出半徑是解決問題的關鍵．