Question

14．觀察下面的變形規律：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{4}$…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，請你猜想$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
（2）計算（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$）×（$\sqrt{2013}$+1）

Answer 1

分析 （1）直接利用分母有理化法則化簡求出答案；
（2）直接利用分母有理化法則化簡，再利用平方差公式求出答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
故答案為：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（2）（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$）×（$\sqrt{2013}$+1）
=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2013}$-$\sqrt{2012}$）（$\sqrt{2013}$+1）
=（$\sqrt{2013}$-1）（$\sqrt{2013}$+1）
=2012．

點評 此題主要考查了分母有理化，正確化簡二次根式是解題關鍵．