Question

13．如圖，等邊△ABC中，D、E分別為BC、AC上一點，且BD=CE．
（1）求證：△BMD∽△ABD；
（2）過A作AN⊥BE于N，若BD=$\frac{3}{2}$，AN=2$\sqrt{3}$，求DM．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到AB=BC，∠ABC=∠C=60°，推出△ABD≌△BCE，根據全等三角形的性質得到∠BAD=∠CBE，即可得到結論；
（2）根據三角形的外角的性質得到∠AMN=∠ABM+∠BAD=∠ABM+∠MBD，求得∠AMN=∠ABC=60°，于是得到AM=$\frac{AN}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，根據相似三角形的性質得到$\frac{BD}{AD}=\frac{DM}{BD}$，代入數據即可得到結論．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠BDM=∠ADB，
∴△BMD∽△ABD；

（2）解：∵∠AMN=∠ABM+∠BAD=∠ABM+∠MBD，
∴∠AMN=∠ABC=60°，
∵AN⊥BE，
∴∠ANM=90°，
∴AM=$\frac{AN}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∵△BMD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DM}{BD}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{4+DM}=\frac{DM}{\frac{3}{2}}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$，（負值舍去）．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，銳角三角函數，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．