Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在原點的左側，點B的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求二次函數的表達式；

（2）當點P運動到拋物線頂點時，求四邊形ABPC的面積；

（3）點Q是x軸上的一個動點，當點P與點C關于對稱軸對稱且以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）9；（3）Q1（5，0），Q2（1，0）．

【解析】

（1）運用待定系數法將B（3，0），C（0，-3）兩點的坐標代入y＝ax2﹣2x+c，求出解析式即可；

（2）將四邊形ABPC的面積，面積分割為S△AOC+S△OCP+S△OPB求出三個三角形的面積即可得出；

（3）求出B、C、P、Q的坐標再根據平行四邊形的性質即可解答

解：（1）將B（3，0），C（0，﹣3）兩點的坐標代入y＝ax2﹣2x+c得：

，

解得 ，

∴二次函數的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，當點P運動到拋物線頂點時，連接AC，PC，PB，PO，作PM⊥AB，PN⊥OC，

∵二次函數的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；

∴P點的坐標為（1，﹣4），即PN＝1，PM＝4，還可得出OB＝3，OC＝3，AO＝1，

∴四邊形ABPC的面積＝S△AOC+S△OCP+S△OPB

＝，

＝ ，

＝9；

（3）∵點P與點C關于對稱軸對稱，點C（0，﹣3），

∴P（2，﹣3），PC＝2，

∵點Q在x軸上，設點Q（x，0），

而B（3，0），

∴BQ＝|x﹣3|，

若以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，

則BQ∥PC，且BQ＝PC，

∴|x﹣3|＝2，

解得：x1＝5，x2＝1，

∴Q1（5，0），Q2（1，0）．