Question

2．在環境創優活動中，某居民小區要在一塊靠墻（墻長25米）的空地上修建一個矩形養雞場，養雞場的一邊靠墻，如果用60m長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養雞場，設養雞場平行于墻的一邊BC的長為x（m），養雞場的面積為y（m²）
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）養雞場的面積能達到300m²嗎？若能，求出此時x的值，若不能，說明理由；
（3）根據（1）中求得的函數關系式，判斷當x取何值時，養雞場的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）先用x表示出AB，根據矩形的面積公式得到y=-$\frac{1}{3}$x²+20x，然后利用墻長25米可得到x的取值范圍；
（2）令y=300得到-$\frac{1}{3}$x²+20x=300，解得x=30，然后根據x的取值范圍可判斷養雞場的面積不能達到300m²；
（3）把（1）中的解析式配成頂點式，然后利用二次函數的性質求解．

解答 解：（1）BC=x，則AB=$\frac{1}{3}$（60-x），
所以y=x•$\frac{1}{3}$（60-x）=-$\frac{1}{3}$x²+20x（0＜x≤25）；
（2）不能．理由如下：
當y=300時，即-$\frac{1}{3}$x²+20x=300，
整理得x²-60x+900=0，解得x₁=x₂=30，
因為0＜x≤25，
所以x=30不滿足條件，
所以養雞場的面積能達到300m²；
（3）y=-$\frac{1}{3}$x²+20x=-$\frac{1}{3}$（x-30）²+300，
因為0＜x≤25，
所以當x=25時，y的值最大，最大值為-$\frac{1}{3}$（25-30）²+300=$\frac{875}{3}$．
答：當x取25m時，養雞場的面積最大，最大面積是$\frac{875}{3}$m²．

點評 本題考查了二次函數的應用：利用矩形的面積公式列二次函數關系，然后根據二次函數的性質確定面積的最大值．實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．也考查了一元二次方程的應用．