Question

3．如圖所示，在正方形ABCD中，E為CD的中點，作BE的中垂線GH，垂足為M，則GM：MH的值為（　�。�

• A． 4：1
• B． 3：1
• C． 3：2
• D． 5：2

Answer 1

分析 根據正方形的性質結合全等三角形的判定方法得出△BCE≌△HFG（ASA），則BE=HG，再推出△BHM∽△BEC，進而利用相似三角形的性質得出答案．

解答 解：過點H作HF⊥AD于點F，交BE于點N，
由題意可得：∠BHM+∠GHF=90°，
∠HBM+∠BHM=90°，
則∠CBE=∠GHF，
在△BCE和△HFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠FHG}\\{BC=HF}\\{∠C=∠HFG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△HFG（ASA），
∴BE=HG，
∵∠BMH=∠C，∠CBE=∠MBH，
∴△BHM∽△BEC，
∵E為CD的中點，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{HM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
設HM=x，則BM=2x，故BE=HG=4x，
則MG=4x-x=3x，
故GM：MH的值為：3：1．
故選：B．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質、正方形的性質等知識，正確得出BE=HG是解題關鍵．