Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D 是邊CB延長線上一動點(BD<BC)，連接AD，點B 關于直線AD的對稱點為E，過D 作DF//AB交CE于點F．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：AD=CF；

（3）當∠DCE=15°時，直接寫出線段AD，EF，BC之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）EF+AD=BC，理由見詳解

【解析】

（1）依據題意畫出相應圖形即可；

（2）連接FB，先DE＝DF，再證等邊三角形DFB，最后通過證△DBA≌△FBC即可得證；

（3）先證△AEC為等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得到AD，EF，BC之間的數量關系．

（1）解：如圖即為所求，

（2）證明：如圖，連接FB，

∵點E、點B關于AD對稱，

∴△ADE≌△ADB，

∴∠AED＝∠ABD，AE＝AB，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∴AE＝AC，

∴∠AEC＝∠ACE，

∵∠AED＝∠ABD，

∴∠AEC＋∠DEF＝∠BAC＋∠ACE＋∠DCF，

∴∠DEF＝∠BAC＋∠DCF＝60°＋∠DCF，

∵DF∥AB，

∴∠FDB＝∠ABC＝60°，

∴∠DFE＝∠FDB＋∠DCF＝60°＋∠DCF，

∴∠DFE＝∠DEF，

∴DE＝DF，

∴DB＝DF，

又∵∠FDB＝60°，

∴△BDF為等邊三角形，

∴∠DBF＝∠ABC＝60°，DB＝FB，

∴∠DBA＝∠FBC＝120°，

在△DBA與△FBC中，

∴△DBA≌△FBC（SAS）

∴AD＝CF．

（3）解：∠ACB＝60°，∠DCE＝15°，

∴∠AEC＝∠ACE＝45°

∴∠EAC＝90°，

在Rt△ACE中，AE2＋AC2＝EC2，

∴EC2＝2AC2，

∴EC＝AC，

即EF＋FC＝AC，

又∵FC＝AD，AC＝BC，

∴EF＋AD＝BC．