Question

【題目】如圖，在⊙O中，B是⊙O上的一點，∠ABC＝120°，弦AC＝，弦BM平分∠ABC交AC于點D，連接MA，MC．

（1）試判斷的形狀；

（2）求⊙O半徑的長.

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）2.

【解析】

（1）由角平分線的性質可得∠ABM=∠CBM=60°,根據等弧對等角可得∠MAC=∠MBC=60°, ∠MCA=∠MBA=60°,進而可得為等邊三角形；

（2）過點O作OH⊥AC于H,連接AO,CO，易知∠AOC=2∠AMC=120°,由垂徑定理可得∠AOH=60°,AH=,然后解直角三角形可得AO的長度.

（1）∵∠ABC＝120°，弦BM平分∠ABC，

∴∠ABM=∠CBM=60°,

∴∠MAC=∠MBC=60°, ∠MCA=∠MBA=60°,

∴為等邊三角形；

（2）過點O作OH⊥AC于H,連接AO,CO.

∵為等邊三角形

∴∠AMC=60°,

∴∠AOC=2∠AMC=120°,

∵OH⊥AC,OA=OC,

∴∠AOH=60°,AH=AC=,

在中，sin∠AOH=

∴AO===2,

∴⊙O的半徑為2.