Question

【題目】如圖，正△ABC 的邊長為 2，頂點 B、C 在半徑為 的圓上，頂點 A在圓內，將正△ABC 繞點 B 逆時針旋轉，當點 A 第一次落在圓上時，則點 C 運動的路線長為 （結果保留π）；若 A 點落在圓上記做第 1 次旋轉，將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉，當點 C 第一次落在圓上記做第 2 次旋轉，再繞 C 將△ABC 逆時針旋轉，當點 B 第一次落在圓上，記做第 3 次旋轉……，若此旋轉下去，當△ABC 完成第 2017 次旋轉時，BC 邊共回到原來位置 次．

Answer 1

【答案】，168.

【解析】

首先連接OA′、OB、OC，再求出∠C′BC的大小，進而利用弧長公式問題即可解決．因為△ABC是三邊在正方形CBA′C″上，BC邊每12次回到原來位置，2017÷12=168.08，推出當△ABC完成第2017次旋轉時，BC邊共回到原來位置168次.

如圖，連接OA′、OB、OC．

∵OB=OC=，BC=2，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°；

同理可證：∠OBA′=45°，

∴∠A′BC=90°；

∵∠ABC=60°，

∴∠A′BA=90°-60°=30°，

∴∠C′BC=∠A′BA=30°，

∴當點A第一次落在圓上時，則點C運動的路線長為：．

∵△ABC是三邊在正方形CBA′C″上，BC邊每12次回到原來位置，

2017÷12=168.08，

∴當△ABC完成第2017次旋轉時，BC邊共回到原來位置168次，

故答案為：，168．