Question

【題目】如圖甲，拋物線y＝ax2+bx﹣1經過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，交y軸于點C．

（1）求拋物線的表達式和直線BC的表達式．

（2）如圖乙，點P為在第四象限內拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線PE交直線BC于點D．

①在點P運動過程中，四邊形ACPB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

②是否存在點P使得以點O，C，D為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：，直線BC的表達式為：y＝x﹣1；（2）①存在，最大值為2；②（，）或（1，﹣1）或（，﹣）．

【解析】

(1) 設二次函數的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，即可求解；用待定系數法即可求出直線BC的表達式．

(2) ①S四邊形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB，即可求解；

②分CD＝OC、CD＝OD、OC＝OD三種情況分別求解即可．

解：（1）二次函數的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，

即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：，點C（0，﹣1），

則直線BC的表達式為：y＝kx﹣1，

將點B的坐標代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，

故直線BC的表達式為：y＝x﹣1；

（2）①設點P（x， x2﹣x﹣1），則點D（x，x﹣1），

S四邊形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB

＝×3×1+×2（x﹣1﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+，

∵﹣0，故S有最大值，當x＝1時，S最大值為2；

②設點D坐標為（m，m﹣1），

則CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+（m﹣1）2＝m2﹣m+1，

當CD＝OC時，m2+m2＝1，解得：m＝，

同理可得：

當CD＝OD時，m＝1，

當OC＝OD時，m＝，

則點P坐標為（，）或（1，﹣1）或（，﹣）．