Question

【題目】已知等腰三角形ABC，AD為BC邊上的高線，且有，AC上有一點E，并且滿足AE：EC＝2：3，則tan∠ADE的值是__．

Answer 1

【答案】或或．

【解析】

分三種情況進行討論：①如果AB＝AC，過E點作CD的平行線交AD于F．②如果BA＝BC，過E點作CD的平行線交AD于F．③如果CA＝CB，過E點作CD的平行線交AD于F，作CG⊥AB于G．利用銳角三角函數的定義、平行線分線段成比例定理可求出∠ADE的正切值．

分三種情況：

①如果AB＝AC，過E點作CD的平行線交AD于F．如圖1．

∵AD為BC邊上的高線，tan∠B＝，

∴EF⊥AD，tan∠C＝．

設AE＝2a，

∵AE：CE＝2：3，

∴CE＝3a，AC＝5a．

∵tan∠C＝，

∴sin∠C＝，cos∠C＝．

在直角△ADC中，AD＝AC·sin∠C＝5a×＝3a．

在直角△AFE中，AF＝AE·sin∠AEF＝AE·sin∠C＝2a×＝a．

EF＝AE·cos∠AEF＝AE·cos∠C＝2a×＝a．

DF＝AD﹣AF＝3a﹣a＝a．

在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝；

②如果BA＝BC，過E點作CD的平行線交AD于F．如圖2．

∵AD為BC邊上的高線，tan∠B＝＝，

∴可設AD＝3k，則BD＝4k，

由勾股定理得AB＝5k，

∴BC＝AB＝5k，DC＝AC﹣BD＝k．

∵EF∥CD，AE：EC＝2：3，

∴＝＝＝，

∴＝＝，

∴AF＝k，EF＝k，

∴DF＝AD﹣AF＝3k﹣k＝k．

在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝；

③如果CA＝CB，過E點作CD的平行線交AD于F，作CG⊥AB于G．如圖2．

∵在直角△BCG中，tan∠B＝＝，

∴可設CG＝3b，則BG＝4b，AB＝2BG＝8b，

由勾股定理得BC＝5b，則AC＝BC＝5b，

∵AE：EC＝2：3，

∴AE＝2b，EC＝3b．

∵在直角△ABD中，tan∠B＝＝，AB＝8b，

∴AD＝×8b＝b，BD＝×8b＝b，

∴CD＝BD﹣BC＝b﹣5b＝b．

∵EF∥CD，

∴＝＝＝，

∴＝＝，

∴AF＝b，EF＝b，

∴DF＝AD﹣AF＝b﹣b＝b．

在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝．

故答案為或或．