Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AB＝6，點D在BC上，BD＝4，點E從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿CA方向向點A運動，△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE．

（1）當t為何值時，點F在線段AC上．

（2）當0＜t＜4時，求∠AEF與∠BDF的數量關系；

（3）當點B、E、F三點共線時，求證：點F為線段BE的中點．

Answer 1

【答案】（1）t＝1s；（2）當0＜t≤1時，∠BDF﹣∠AEF＝120°；當1＜t＜4時，∠BDF+∠AEF＝120°；（3）詳見解析．

【解析】

（1）由折疊的性質可得DF＝DC，EF＝EC，可證△DCF是等邊三角形，可求CE的長，即可求解；

（2）分兩種情況討論，由折疊的性質和四邊形內角和定理可求解；

（3）過點D作DG⊥EF于點G，過點E作EH⊥CD于點H，由勾股定理可求BG的長，通過證明△BGD∽△BHE，可求EC的長，即可得結論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

∵△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE，

∴DF＝DC，EF＝EC，且點F在AC上，∠C＝60°，

∴△DCF是等邊三角形，

∴CD＝CF＝AB﹣BD＝2，

∴CE＝1，

∴t＝＝1s；

（2）如圖1，當0＜t≤1時，

∵△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE，

∴∠F＝∠C＝60°，∠FDE＝∠CDE，∠CED＝∠FED，

∵∠C+∠CDE+∠CED＝180°，

∴∠C+∠F+∠CDE+∠EDF+∠CED+∠FED＝360°，

∴∠CDF+180°+∠AEF＝360°﹣120°

∴180°﹣∠BDF+180°+∠AEF＝240°，

∴∠BDF﹣∠AEF＝120°；

如圖2，當1＜t＜4時，

∵△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE，

∴∠F＝∠C＝60°，∠FDE＝∠CDE，∠CED＝∠FED，

∵∠FDC+∠C+∠F+∠CEF＝360°，

∴180°﹣∠BDF+120°+180°﹣∠AEF＝360°，

∴∠BDF+∠AEF＝120°；

（3）如圖3，過點D作DG⊥EF于點G，過點E作EH⊥CD于點H，

∵△CDE關于DE的軸對稱圖形為△FDE

∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°，EF＝EC，

∵GD⊥EF，∠EFD＝60°

∴FG＝1，DG＝FG＝，

∵BD2＝BG2+DG2，

∴16＝3+（BF+1）2，

∴BF＝

∴BG＝，

∵EH⊥BC，∠C＝60°

∴CH＝，EH＝HC＝EC，

∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°

∴△BGD∽△BHE，

∴,

∴，

∴EC＝﹣1，

∴EC＝EF＝BF＝﹣1，

∴點F是線段BE的中點．