Question

【題目】如圖，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，AD、CE交于點F，若AC＝5，則線段EF的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意先證明△ADC為等腰直角三角形，再由正弦函數求得AD與CD的長，由同角的余角相等及對頂角相等證得∠DFC=∠AFE=∠B，然后根據tan∠DFC=2求得DF的長，從而可得AF的長；根據tan∠AFE=tan∠B=2，設AE=2x，EF=x，由勾股定理表示出AF，利用EF=AFcos∠AFE求得EF的長即可．

解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于點D，

∴△ADC為等腰直角三角形，

∴AD＝CD，

∵AC＝5，

∴AD＝CD＝ACsin45°＝5×＝5，

∵AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，

∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，

∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，

∵tan∠B＝2，

∴tan∠DFC＝2，

∴＝2，

∴DF＝＝，

∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，

∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，

∴設AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，

∴EF＝x＝，

故答案為：．