Question

13．如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分線CF于點F．
（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否一定成立？說出你的理由；
②在如圖2所示的直角坐標系中拋物線y=ax²+x+c經過A、D兩點，當點E滑動到某處時，點F恰好落在此拋物線上，求此時點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中點，從而只需取AB點G，連接EG，則有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；
（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同樣可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，證全等即可；
②根據A、D兩點的坐標求出拋物線解析式，設出F點的橫坐標，縱坐標用橫坐標表示，將F點的坐標代入拋物線解析式即可求出坐標．

解答 解：（1）如圖1，取AB的中點G，連接EG．△AGE≌△ECF．

（2）①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立．
證明：如圖2，在AB上截取AG=EC．

∵AB=BC，
∴BG=BE，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF．
②由題意可知拋物線經過A（0，1），D（1，1）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1+c=1}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+x+1，
過點F作FH⊥x軸于H，
由①知，FH=BE=CH，設BH=a，則FH=a-1，
∴點F的坐標為F（a，a-1），
∵點F恰好落在拋物線y=-x²+x+1上，
∴a-1=-a²+a+1，
∴a=$\sqrt{2}$（負值不合題意，舍去），
點F的坐標為F（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-1$）..

點評 本題主要考查了正方形的性質、全等等三角形的判定與性質、待定系數法求二次函數解析式等知識點，難度不大，屬于中檔題．在構造全等三角形時，要先明確已經具備哪些相等條件，還缺什么條件，然后結合全等三角形的判定定理很容易作出輔助線．