Question

【題目】如圖，直線過軸上一點，且與拋物線相交于兩點，點坐標為.

（1）求直線和拋物線的函數解析式.

（2）若拋物線上有一點使得，求點坐標.

（3）在軸上是否存在一點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為；拋物線解析式為；（2）或.

（3），，，.

【解析】

(1)利用待定系數法，設直線的解析式為，把，代入后求出k,b的值即可得出的解析式；將代入求出a即可得出拋物線解析式；

（2)先聯立方程組得到直線l與拋物線的交點坐標，然后求出三角形BOC的面積，設，根據題意列出方程求解即可得出點D坐標；

（3）分類討論為等腰三角形的三種情況，可得出點P坐標.

解：（1）設直線的解析式為，把，代入得，

解得，

所以直線的解析式為；

把代入得，

所以拋物線解析式為；

（2）依題意得：，

解得或，

即直線與拋物線的兩個交點的坐標是、.

.

設，

∵，

∴，

解得或（舍去），

∴或.

（3）∵，

∴OC=

①當OP=OC時，OP=,

∴,;

②當OC=PC時，

點C在OP的垂直平分線上，

∴OP=4

∴

③當PC=PO時，

點P在OC的垂直平分線上，

易得直線OC:y=-2x

設OC中點為點D，則D(-1,2),

易得直線PD:

令y=0,得x=-5

∴

綜上所述，符合條件的點的坐標為：，，，.