Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O．AC為直徑，AC、BD交于E，=．

（1）求證：AD+CD=BD；

（2）過B作AD的平行線，交AC于F，求證：EA2+CF2=EF2；

（3）在（2）條件下過E，F分別作AB、BC的垂線垂足分別為G、H，連GH、BO交于M，若AG=3，S四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）延長DA至W，使AW=CD，連接WB，證△BCD和△BAW全等，得到△WBD是等腰直角三角形，然后推出結論；
（2）過B作BE的垂線BN，使BN=BE，連接NC，分別證△AEB和△CNB全等，△BFE和△BFN全等，將EA，CF，EF三條線段轉化為直角三角形的三邊，即可推出結論；
（3）延長GE，HF交于K，通過大量的面積法的運用，將AE，CF，EF三條線段用含相同的字母表示出來，再根據第二問的結論求出相關字母的值，再求出AB的值，進一步求出⊙O半徑．

解：（1）延長DA至W，使AW=CD，連接WB，

∵=，

∴∠ADB=∠CDB=45°，AB=BC，

∵四邊形ABCD內接于⊙O．

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BAD+∠WAB=180°，

∴∠BCD=∠WAB，

在△BCD和△BAW中，

，

∴△BCD≌△BAW（SAS），

∴BW=BD，∠BWA=∠ADB=45°，

∴△WBD是等腰直角三角形，

∴AD+DC=DW=BD；

（2）如圖2，設∠ABE=α，∠CBF=β，則α+β=45°，

過B作BE的垂線BN，使BN=BE，連接NC，

在△AEB和△CNB中，

，

∴△AEB≌△CNB（SAS），

∴AE=CN，

∠BCN=∠BAE=45°，

∴∠FCN=90°，

∵∠FBN=α+β=∠FBE，BE=BN，BF=BF，

∴△BFE≌△BFN，

∴EF=FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2=NF2，

∴EA2+CF2=EF2；

（3）如圖3，延長GE，HF交于K，

由（2）得EA2+CF2=EF2，

∴EA2+CF2=EF2，

∴S△AGE+S△CFH=S△EFK，

∴S△AGE+S△CFH+S五邊形BGEFH=S△EFK+S五邊形BGEFH，

即S△ABC=S矩形BGKH，

∴S△ABC=S矩形BGKH，

∴S△GBH=S△ABO=S△CBO，

∴S△BGM=S四邊形COMH，S△BMH=S四邊形AGMO，

∵S四邊形AGMO：S四邊形COMH=8：9，

∴S△BMH：S△BGM=8：9，

∵BM平分∠GBH，

∴BG：BH=9：8，

設BG=9k，BH=8k，

∴CH=3+k，

∴AE=3，CF=（k+3），EF=（8k-3），

∴（3）2+[（k+3）]2=[（8k-3）]2，

整理，得7k2-6k-1=0，

解得：k1=-（舍去），k2=1，

∴AB=12，

∴AO=AB=6，

∴⊙O半徑為6．