Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形．

（2）設AE與BF相交于點O，四邊形ABEF的周長為16，BF＝4，求AE的長和∠C的度數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）.

【解析】

（1）根據尺規作圖得到直線AE是線段BF的垂直平分線，∠FAE=∠BAE，根據線段垂直平分線的性質、菱形的判定定理證明；

（2）根據菱形的周長求出菱形的邊長，得到△ABF是等邊三角形，根據等邊三角形的性質、勾股定理計算即可.

解：（1）由尺規作圖的過程可知，直線AE是線段BF的垂直平分線，∠FAE＝∠BAE，

∴AF＝AB，EF＝EB，

∵AD∥BC，

∴∠FAE＝∠AEB，

∴∠AEB＝∠BAE，

∴BA＝BE，

∴BA＝BE＝AF＝FE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠BAD＝∠C

∵菱形ABEF的周長為16，

∴AF＝AB＝4，又BF＝4，

∴△ABF是等邊三角形，

∴∠ABF＝60°，AO＝AB＝2

∴∠C＝60°，AE＝4