Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC與點E，經過A、D、E三點的即的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸交于另一點G．

（1）求證：BC是⊙F的切線；

（2）試探究線段AG、AD、CD之間的關系，并證明；

（3）若點A（O，﹣1）、D（2，0），求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AG＝AD+2CD；（3）

【解析】

（1）連接EF，根據角平分線的定義、等腰三角形的性質得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根據平行線的性質得到∠FEB=∠C=90°，證明結論；
（2）作FR⊥AD于R，連接DF，得出四邊形RCEF是矩形，則EF=RC=RD+CD，∠EFR=90°，得出AR=RD= AD，即可得出結論；
（3）設⊙F的半徑為r，則r2=（r-1）2+22，解得，r=，則FA=FG=FE=，由勾股定理得出AD= ，得出AR=，證明△BEF∽△FRA，得出，求出BF，即可得出結果．

（1）證明：連接EF，如圖1所示：

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE＝∠CAE，

∵FA＝FE，

∴∠FAE＝∠FEA，

∴∠FEA＝∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切線；

（2）解：AG＝AD+2CD；理由如下：

作FR⊥AD于R，連接DF，如圖2所示：

則∠FRC＝90°，又∠FEC＝∠C＝90°，

∴四邊形RCEF是矩形，

∴EF＝RC＝RD+CD，∠EFR＝90°，

∵FR⊥AD，

∴AR＝RD＝AD，

∴EF＝RD+CD＝AD+CD，

∵AF＝EF，

∴AF＝AD+CD，

∴AG＝2AF＝AD+2CD；

（3）解：設⊙F的半徑為r，

則r2＝（r﹣1）2+22，

解得，r＝，

∴FA＝FG＝FE＝，

∵點A（O，﹣1）、D（2，0），

∴OA＝1，OD＝2，

∴AD＝，

∴AR＝，

∵∠EFR＝90°，

∴∠BFE+∠AFR＝90°，

∵∠BFE+∠EBF＝90°，

∴∠EBF＝∠AFR，

∵∠BEF＝∠FRA＝90°，

∴△BEF∽△FRA，

∴，即，

解得：BF，

∴AB＝AF+BF＝．