Question

【題目】（問題背景）

如圖1，在邊長為1的正方形網格中，連結格點A、B和C、D，AB和CD相交于點P，求tan∠CPB的值．小馬同學是這樣解決的：連結格點B、E可得BE∥CD，則∠ABE＝∠CPB，連結AE，那么∠CPB就變換到Rt△ABE中．則tan∠CPB的值為　 　．

（探索延伸）

如圖2，在邊長為1的正方形網格中，AB和CD相交于點P，求sin∠APD的值．

Answer 1

【答案】【問題背景】3；【探索延伸】sin∠APD＝ .

【解析】

（1）在Rt△ABE中，利用正切函數的定義求出tan∠ABE即可．

（2）如圖2，連接CE，DE，作DM⊥CE于M．先證明四邊形ABCE是平行四邊形，得出CE∥AB，那么∠APD＝∠ECD．利用割補法求出△ECD的面積＝，由勾股定理求出CE＝，那么根據三角形的面積公式得出DM＝，然后利用正弦函數定義求出sin∠ECD即可．

解：（1）如圖1，

∵BE∥CD，

∴∠ABE＝∠CPB，

∴tan∠ABE＝tan∠CPB，

∵∠AEB＝90°，

∴tan∠CPB＝tan∠ABE＝＝3，

故答案為3．

（2）如圖2，連接CE，DE，作DM⊥CE于M．

∵BC∥AE，BC＝AE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴CE∥AB，

∴∠APD＝∠ECD．

∵△ECD的面積＝3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×1×3＝，

∴CEDM＝，

∵CE＝，

∴DM＝，

∴sin∠APD＝sin∠ECD＝．