Question

【題目】已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將一個直角三角板的直角頂點P放在射線OM上，OP=2，移動直角三角板，兩邊分別交射線OA，OB與點C，D.

（1）如圖，當點C、D都不與點O重合時，求證：PC=PD；

（2）聯結CD，交OM于E，設CD=x，PE=y，求y與x之間的函數關系式；

（3）如圖，若三角板的一條直角邊與射線OB交于點D，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，F，且△PDF與△OCD相似，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）2．

【解析】

（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，由直角三角形的性質可知∠PHC=∠PND=90°，則∠HPC+∠CPN=90°，再由ASA定理得出△PCH≌△PDN，由此可得出結論；
（2）根據（1）中PC=PD可得出∠POB=∠PDC，故△PDE∽△POD，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（3）根據題意畫出圖形，假設△PDF與△OCD相似，再由相似三角形的性質即可得出結論．

證明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，

則∠PHC=∠PND=90°，則∠HPC+∠CPN=90°

∵ ∠CPN+∠NPD=90°

∴∠HPC=∠NPD，

∵OM是∠AOB的平分線

∴PH=PN，∠POB=45°，

∵在△PCH與△PDN中，

，

∴△PCH≌△ PDN（ASA）

∴PC=PD；

（2）解：∵PC=PD，

∴∠PDC=45°，

∴∠POB=∠PDC，

∵∠DPE=∠OPD，

∴△ PDE∽ △ POD，

∴PE：PD=PD：PO，

又∵PD2=CD2，

∴PE=x2，即y與x之間的函數關系式為y=x2；

（3）如圖1，點C在AO上時，

∵∠PDF＞∠CDO，

令△PDF∽△OCD，

∴∠ DFP=∠CDO，

∴CF=CD，

∵CO⊥ DF

∴OF=OD

∴ OD=DF=OP=2；