Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC是經過⊙H的圓心，交⊙H于點D、E，AB、AC是圓的切線，F、G是切點．

（1）求證：BH＝CH；

（2）填空：①當∠FHG＝　 　時，四邊形FHCG是平行四邊形；

②當∠FED＝　 　時，四邊形AFHG是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①90°；②22.5°

【解析】

（1）證明△BFH≌△CGH可得結論．

（2）①當∠FHG＝90°時，四邊形FHCG是平行四邊形．分別證明FG∥CH，FH∥CG即可．

②當∠FED＝22.5°時，四邊形AFHG是正方形．連接EF，首先證明∠AFH＝∠FHG＝∠AGH＝90°，推出四邊形AFHG是矩形，再根據HF＝HG推出四邊形AFHG是正方形．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∵AB、AC是⊙H的切線，

∴∠BFH＝∠CGH＝90°．

∵HF＝HG，

∴△BFH≌△CGH（AAS），

∴BH＝CH．

（2）解：①當∠FHG＝90°時，四邊形FHCG是平行四邊形．

理由：∵△BFH≌△CGH（已證），

∴BF＝CG，

∵AB＝AC，

∴AF＝AG，

∴∠AFG＝∠AGF，

∵∠B＝∠C，∠A+2∠AGF＝180°，∠A+2∠C＝180°，

∴∠AGF＝∠C，

∴，

∵AC是⊙H的切線，

∴AC⊥HG，

∴∠FHG＝∠CGH＝90°，

∴，

∴四邊形FHCG是平行四邊形．

②當∠FE D＝22.5°時，四邊形AFHG是正方形．

理由：如圖1中，連接EF．

，

，

∴∠FHD＝2∠FED＝45°，

∵△BFH≌△CGH（已證），

∴∠FHB＝∠GHC＝45°，

∴∠FHG＝90°，

∵AB，AC是⊙H的切線，

∴AB⊥HF，AC⊥HG，

∴∠AFH＝∠AGH＝90°，

∴四邊形AFHG是矩形，

∵HF＝HG，

∴四邊形AFHG是正方形．