Question

【題目】某同學在研究二次函數及其圖像性質的問題時，發現了兩個重要結論：

①拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，不論 a 為何值時，它的頂點都在某條直線上；

②拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0)，其頂點的橫坐標減少，縱坐標增加得到A點，若把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點，則A，B兩點一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上．

（1）請你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點所在直線的解析式，并證明結論②是正確的；

（2）問題（1）中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎，并說明理由；

（3）你能把結論①或②（選擇其中之一）推廣到一般情況嗎，請用數學語言表述你的成 果，并給予嚴格的證明．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）（0,3），理由見解析；（3）①的推廣：若b、c是常數，對任意的實數，拋物線的頂點在直線上；②的推廣：拋物線，將其頂點的橫坐標增加或減少，縱坐標增加，所得到的兩個點一定仍在拋物線上；證明見解析．

【解析】

（1）首先將拋物線y=ax2+2x+3轉化成頂點式，寫出用a表示的頂點坐標，消去a寫出y關于x的表達式；

（2）觀察（1）中的頂點坐標，因為，即橫坐標，縱坐標，即可求得結果；

（3）首先寫出拋物線的一般形式，再轉化成頂點式，將頂點的橫坐標增加

代入一般式，驗證縱坐標也增加．

解：（1）方法一：

當時，的頂點坐標為(1,2)，

當時，的頂點坐標為(1,4)，

設拋物線的頂點在直線上，

將(1,2)，(1,4)代入，得：

，解得：，

所以，

即拋物線的頂點在直線；

方法二：

易知的頂點是，

即，，

消去a得：，

即拋物線的頂點在直線；

證明：拋物線的頂點是，

由題意得：A(0,3)，B(,3)，

當x=0時，y=3，則點A在拋物線上，

當x=時，，則點B拋物線上，

（2）直線上有一點(0,3)不是該拋物線的頂點，

拋物線的頂點是，

當時，橫坐標，即(0,3)不是拋物線的頂點；

（3）①的推廣

若b、c是常數，對任意的實數，拋物線的頂點在直線上.

當時，則的頂點為，

當時，則的頂點為，

將它們代入得：

，

解得：

則直線為，

事實上，時，

，

即拋物線頂點在直線上；

②的推廣

猜想：拋物線y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，將其頂點的橫坐標增加或減少，縱坐標增加，所得到的兩個點一定仍在拋物線上.

證明：拋物線的頂點坐標為，

將其橫坐標增加或減少，縱坐標增加，得到

，

將代入得

=

=

∴點A在拋物線上，同理可證點B也在拋物線上.