Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（﹣3，0）．已知拋物線y＝﹣x2+2mx+3（m為常數），頂點為P．

（1）當拋物線經過點A時，頂點P的坐標為　 　；

（2）在（1）的條件下，此拋物線與x軸的另一個交點為點B，與y軸交于點C．點Q為直線AC上方拋物線上一動點．

①如圖1，連接QA、QC，求△QAC的面積最大值；

②如圖2，若∠CBQ＝45°，請求出此時點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4）；（2）①；②Q（﹣，）．

【解析】

（1）將點A坐標代入拋物線表達式并解得：m=-1，即可求解；

（2）①過點Q作y軸的平行線交AC于點N，先求出直線AC的解析式，點Q(x，﹣x2﹣2x+3)，則點N(x，x+3)，則△QAC的面積S=×QN×OA=﹣x2﹣x，然后根據二次函數的性質即可求解；

②tan∠OCB=＝，設HM=BM=x，則CM=3x，BC=BM+CM=4x=，解得：x=，CH=x=，則點H(0，)，同理可得：直線BH(Q)的表達式為：y=-x+，即可求解．

解：（1）將點A(﹣3，0)代入拋物線表達式并解得，

0＝﹣9-6m+3

∴m＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4…①，

∴點P(﹣1，4)，

故答案為：(﹣1，4)；

（2）①過點Q作y軸的平行線交AC于點N，如圖1，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

將點A(﹣3，0)、C(0，3)的坐標代入一次函數表達式并解得，

，

解得

，

∴直線AC的表達式為：y＝x+3，

設點Q(x，﹣x2﹣2x+3)，則點N（x，x+3），

△QAC的面積S＝QN×OA＝(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝﹣x2﹣x，

∵﹣＜0，故S有最大值為：；

②如圖2，設直線BQ交y軸于點H，過點H作HM⊥BC于點M，

tan∠OCB＝＝，設HM＝BM＝x，則CM＝3x，

BC＝BM+CM＝4x＝，解得：x＝，

CH＝x＝，則點H(0，)，

同直線AC的表達式的求法可得直線BH（Q）的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯立①②并解得：

﹣x2﹣2x+3=﹣x+，

解得

x＝1（舍去）或﹣，

故點Q(﹣，)．