Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有矩形，，將矩形繞原點逆時針旋轉得到矩形OA′B′C′.

(Ⅰ)如圖1，當點A′首次落在上時，求旋轉角；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下求點B′的坐標；

(Ⅲ)如圖2，當點B′首次落在軸上時，直接寫出此時點A′的坐標.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)旋轉角為；(Ⅱ)B′的坐標為；(Ⅲ)點A′的坐標為

【解析】

(Ⅰ)過點作，垂足為，由旋轉的性質及A、C坐標可得OA=OA′=4，A′D=A′B′=OC=2，由A′D=OA′可得，即可得答案；(Ⅱ)過點作B′E⊥BC，垂足為，根據矩形的性質可得，可得，即可求出A′C、A′E、B′E的長，進而可得B′點坐標；(Ⅲ)過點作軸，垂足為，可證明，利用勾股定理可求出OB′的長，根據相似三角形的性質可求出OF的長，進而可得A′F的長，即可得點A′坐標.

(Ⅰ)如圖，過點作，垂足為，

∵，

∴.

在中，，

∴，即旋轉角為.

(Ⅱ)如圖，過點作，垂足為，

∵

∴.

∴.

∴.

∴的坐標為.

(Ⅲ)如圖，過點作軸，垂足為，

∵A′B′=2，A′O=4，

∴B′O==，

∵，∠A′OB′=∠A′OB′，

∴.

∴.

∴.

∴.

∴點的坐標為.