Question

【題目】已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點，連接DM，EM．

（1）如圖1，點E在CD上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數量關系與位置關系，并直接寫出結論；

（2）如圖2，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中結論是否仍然成立？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）DM⊥EM，DM＝EM，見解析；（2）DM⊥EM，DM＝EM，見解析.

【解析】

（1）根據全等三角形的性質推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因為∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；

（2）結論不變，延長EM交DA的延長線于H，由正方形的性質和平行線的性質，得到邊和角的關系，可以證明△AMH≌△FME，然后得到MH＝ME，AH＝EF＝EC，進而得到結論.

解：（1）結論：DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如圖1中，延長EM交AD于H．

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME（AAS），

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME；

（2）如圖2中，結論不變．DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如圖2中，延長EM交DA的延長線于H．

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME．