Question

【題目】已知拋物線L：y=ax2+bx+3與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求拋物線的函數表達式及頂點D的坐標；

（2）若將拋物線L沿y軸平移后得到拋物線L′，拋物線L′經過點E（4，1），與y軸的交點為C′，頂點為D′，在拋物線L′上是否存在點M，使得△MCC′的面積是△MDD′面積的2倍？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，3），D（2，-1）；（2）M（4，1）或（，-）．

【解析】

（1）將點A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可確定函數解析式，進而求D坐標；

（2）設平移后解析式y=（x-2）2-1+h，將點E代入可求解析式y=（x-2）2-3，設M（x，x2-4x+1），由面積關系可得|x|=2|x-2|，求得M（4，1）或M（，-）．

（1）將點A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，

解得a=1，b=-4，

∴y=x2-4x+3，

∴C（0，3），D（2，-1）；

（2）設平移后解析式y=（x-2）2-1+h，

∵經過點E（4，1），

∴h=-2，

∴y=（x-2）2-3，

∴C'（0，1），D'（2，-3）

∴CC'=2，DD'=2，

∵△MCC′的面積是△MDD′面積的2倍，

設M（x，x2-4x+1），

∴|x|=2|x-2|，

∴x=4或x=，

∴M（4，1）或（，-）．