Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于，兩點，過點的直線分別與軸及拋物線交于點

（1）求直線和拋物線的表達式

（2）動點從點出發，在軸上沿的方向以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為秒，當為何值時，為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的的值．

（3）如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位后，與軸，軸分別交于，兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點，在直線上是否存在點，使的值最小？若存在，求出其最小值及點，的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或3或4或12；（3）存在，，，最小值

【解析】

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）先求點D坐標，再求點C坐標，然后分類討論即可；

（3）通過做對稱點將折線轉化成兩點間距離，用兩點之間線段最短來解答即可.

解：（1）把代入，

得

解得，

∴拋物線解析式為，

∵過點B的直線，

∴把代入，解得，

∴直線解析式為

（2）聯立，解得或，所以，

直線：與軸交于點，則，

根據題意可知線段，則點

則，，

因為為直角二角形

①若，則，

化簡得：，或

②若，則，

化簡得

③若，則，

化簡得

綜上所述，或3或4或12，滿足條件

（3）在拋物線上取點的對稱點，過點作于點，交拋物線對稱軸于點，過點作于點，此時最小

拋物線的對稱軸為直線，則的對稱點為，

直線的解析式為

因為，設直線：，

將代入得，則直線：，

聯立，解得，則，

聯立，解得，則，