Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD= ，E為CD中點，連接AE，且AE=2 ，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，則BF=（ ）

A.1
B.3﹣
C. ﹣1
D.4﹣2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖，延長AE交BC的延長線于G，

∵E為CD中點，

∴CE=DE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠G=30°，

在△ADE和△GCE中，

，

∴△ADE≌△GCE（AAS），

∴CG=AD= ，AE=EG=2 ，

∴AG=AE+EG=2 +2 =4 ，

∵AE⊥AF，

∴AF=AGtan30°=4 × =4，

GF=AG÷cos30°=4 ÷ =8，

過點A作AM⊥BC于M，過點D作DN⊥BC于N，

則MN=AD= ，

∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴BM=CN，

∵MG=AGcos30°=4 × =6，

∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣ ﹣ =6﹣2 ，

∵AF⊥AE，AM⊥BC，

∴∠FAM=∠G=30°，

∴FM=AFsin30°=4× =2，

∴BF=BM﹣MF=6﹣2 ﹣2=4﹣2 ．

所以答案是：D．

【考點精析】掌握平行線的性質和等腰梯形的性質是解答本題的根本，需要知道兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；等腰梯形的兩腰相等；同一底上的兩個角相等；兩條對角線相等．