Question

為了從甲、乙兩名學生中選拔一人參加全國數學競賽，李老師每個月對他們的競賽成績進行一次測驗，下圖是兩人賽前5次測驗成績的折線統計圖．
①分別求出甲、乙兩名學生5次測驗成績的平均數、極差及方差；
②請你參謀一下，李教師應選派哪一名學生參加這次競賽．請結合所學習的統計知識說明理由．

Answer 1

分析：①甲5次的成績：65，80，80，85，90；乙5次的成績：70，90，85，75，80；再代入平均數、極差及方差的公式計算即可；
②根據方差越大，波動性越大，選擇方差小的參加這次比賽．

解答：解：①甲的極差=90-65=25，乙的極差=90-70=20；

.

x

_甲=（65+80+80+85+90）÷5=80，

.

x

_乙=（70+90+75+85+80）÷5=80，
S_甲²=

1

5

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x₅-

.

x

）²]
=

1

5

[（65-80）²+（80-80）²+…+（90-80）²]
=70，
S_乙²=

1

5

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x₅-

.

x

）²]
=

1

5

[（70-80）²+（90-80）²+…+（80-80）²]
=50；

②∵S_甲²＞S_乙²，∴乙的波動小，成績穩定，∴李教師應選派乙學生參加這次競賽．

點評：本題考查平均數、極差、方差的定義：一般地設n個數據，x₁，x₂，…x_n的平均數為

.

x

，則方差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
極差反映了一組數據變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值；
方差是各變量值與其均值離差平方的平均數，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法．