【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,延長AC到E,C為線段AE上的一動點(不與點A、E重合),在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,OC. 以下五個結論:①AD=BE;②AP=BO;③PQ//AE;④∠AOB=60°;⑤OC平分∠AOE;結論正確的有_________(把你認為正確的序號都填上)
【答案】①③④⑤
【解析】
根據等邊三角形的三邊都相等,三個角都是60°,可以證明△ACD△BCE,根據全等三角形對應邊相等可得AD=BE,所以①正確;
由△ACD△BCE得∠CAD=∠CBE,加上∠BCA=∠DCE=60°,AC=BC,得到△ACP
△BCQ(ASA),所以AP=BO,故②錯誤;
根據△ACP△BCQ,再根據PC=QC,推出△PCQ是等邊三角形,又由∠ACB=∠CPQ,根據內錯角相等,兩直線平行,故③正確;
利用等邊三角形的性質,BC//DE,再根據平行線的性質得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正確;
根據三角形面積公式求出CN=CM,根據角平分線性質即可判斷⑤.
①∵正三角形ABC和正三角形CDE,
∴BC=AC,DE=DC=CE,∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD△BCE(SAS),
∴AD=BE;故①正確.
②∵△ACD△BCE(已證),
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠BCA=∠DCE=60°(已證),
∴=60°,
∴∠ACB=∠BCQ=60°,
在△ACP和△BCQ中,
,
∴△ACP△BCQ(ASA),
∴AP=BO,
故②錯誤.
③∵△ACP△BCQ(已證),
∴PC=QC,
∴△PCQ是等邊三角形.
∴∠CPQ=60°,
∴∠ACB=∠CPQ,
∴PQ//AE,
故③正確.
④∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
在正三角形CDE中,
∠DEC =60°=∠BCD,
∴ BC//DE,
∴∠CBE=∠DEO,
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故④正確.
⑤過C作于M,
于N,
∵△ACD△BCE,
∴,BE=AD,
∴
∴CM=CN,
∴OC平分∠AOE,故⑤正確;
故答案為①③④⑤.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線EF交BC于點E,交AB于點F,D是線段CE的中點,AD⊥BC于點D.若∠B=36°,BC=8,則AB的長為__.
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【題目】為使中華傳統文化教育更具有實效性,軍寧中學開展以“我最喜愛的傳統文化種類”為主題的調查活動,圍繞“在詩詞、國畫、對聯、書法、戲曲五種傳統文化中,你最喜愛哪一種?(必選且只選一種)”的問題,在全校范圍內隨機抽取部分學生進行問卷調查,將調查結果整理后繪制成如圖所示的不完整的統計圖,請你根據圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調查共抽取了多少名學生?
(2)通過計算補全條形統計圖;
(3)若軍寧中學共有960名學生,請你估計該中學最喜愛國畫的學生有多少名?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交BC的延長線于M,∠A=40°.
⑴求∠NMB的大小;
⑵若將圖中的∠A的度數改為70°,其余條件不變,則∠NMB= ;
⑶你發現有什么樣的規律?若將∠A改為鈍角,對這個問題規律性的認識是否需要加以修改?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點E在AC上(且不與點A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)求證:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如圖2,將△CED繞點C逆時針旋轉,當點E在線段BC上時,連接AE,求證:AF=AE;
(3)如圖3,將△CED繞點C繼續逆時針旋轉,當平行四邊形ABFD為菱形,且△CED在△ABC的下方時,若AB=2,CE=2,求線段AE的長.
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【題目】為了解學生參加選課走板情況,學校研究小組隨機抽取若干人進行調查分析,根據收集整理的數據繪制成不完整的條形統計圖和扇形統計圖,課程類別代碼如下:
A:文學類課程 B:益智類課程 C:藝術類課程
根據以上信息,解答下列問題:
(1)該小組采用的調查方式是 ,被調查的樣本容量是 ;
(2)將條形統計圖和扇形統計圖補充完整;
(3)若全校有1280名學生,選擇藝術類課程的學生有多少人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,在△DCE中,∠DCE=90°,DC=EC=6,點D在線段AC上,點E在線段BC的延長線上.將△DCE繞點C旋轉60°得到△D′CE′(點D的對應點為點D′,點E的對應點為點E′),連接AD′、BE′,過點C作CN⊥BE′,垂足為N,直線CN交線段AD′于點M,則MN的長為_____.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某學校為了增強學生體質,決定開設以下體育課外活動項目:A:籃球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,為了解學生最喜歡哪一種活動項目,隨機抽取了部分學生進行調查,并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖,請回答下列問題:
(1)這次被調查的學生共有 人;
(2)請你將條形統計圖(2)補充完整;
(3)在平時的乒乓球項目訓練中,甲、乙、丙、丁四人表現優秀,現決定從這四名同學中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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