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【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,延長ACE,C為線段AE上的一動點(不與點A、E重合),在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE,ADBE交于點O,ADBC交于點PBECD交于點Q,連接PQ,OC. 以下五個結論:①AD=BE;②AP=BO;③PQ//AE;④∠AOB=60°;⑤OC平分∠AOE;結論正確的有_________(把你認為正確的序號都填上)

【答案】①③④⑤

【解析】

根據等邊三角形的三邊都相等,三個角都是60°,可以證明ACDBCE,根據全等三角形對應邊相等可得AD=BE,所以①正確;

由△ACDBCE得CAD=CBE,加上∠BCA=DCE=60°,AC=BC,得到△ACPBCQASA),所以AP=BO,故②錯誤;

根據△ACPBCQ,再根據PC=QC,推出△PCQ是等邊三角形,又由∠ACB=CPQ,根據內錯角相等,兩直線平行,故③正確;

利用等邊三角形的性質,BC//DE,再根據平行線的性質得到∠CBE=DEO,于是∠AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60°.故④正確;

根據三角形面積公式求出CN=CM,根據角平分線性質即可判斷⑤.

①∵正三角形ABC和正三角形CDE,

BC=ACDE=DC=CE,∠DEC=BCA=DCE=60°,

∴∠ACD=BCE,

在△ACD和BCE中,

∴△ACDBCE(SAS),

AD=BE;故正確.

②∵△ACDBCE(已證,

∴∠CAD=CBE

∵∠BCA=DCE=60°(已證,

=60°,

∴∠ACB=BCQ=60°,

在△ACP和BCQ中,

∴△ACPBCQASA),

AP=BO,

故②錯誤.

③∵△ACPBCQ(已證

PC=QC,

∴△PCQ是等邊三角形.

∴∠CPQ=60°,

∴∠ACB=CPQ

PQ//AE,

故③正確.

④∵∠ACB=DCE=60°,

∴∠BCD=60°

在正三角形CDE中,

DEC =60°=BCD,

BC//DE,

∴∠CBE=DEO,

∴∠AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60°.

故④正確.

⑤過CM,N

∵△ACDBCE,

,BE=AD

CM=CN,

OC平分∠AOE,故⑤正確;

故答案為①③④⑤.

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