Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和，與軸交于點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點是拋物線上第二象限內的點，連接，設的面積為，當取最大值時，求點的坐標；

（3）作射線，將射線繞點順時針旋轉交拋物線于另一點，在射線上是否存在一點，使的周長最小.若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，點坐標為

【解析】

（1）用待定系數法即可求拋物線的表達式；

（2）過點作軸，交線段于點，交軸于點，設

將點D的坐標用含x的代數式表示出來，然后利用即可求出面積最大時的x的值，從而確定點P的坐標；

（3）延長到，使，連接，與交點即為滿足條件的點.分別求出AD,的直線解析式，然后建立方程組即可求出交點H的坐標.

解：（1）將、和代入得，

解得：

∴拋物線的表達式為.

（2）如圖，過點作軸，交線段于點，交軸于點.

設

∵

∴，

∴直線解析式為

∴

∴

由圖可得

∵

∴

當時最大

將代入得

∴.

（3）在射線上存在一點，使的周長最小.

如圖，延長到，使，連接，與交點即為滿足條件的點.

∵射線繞點順時針旋轉得射線

∴

∴

∴直線解析式為

∵

∴，垂直平分

∴

∴當在同一直線上時，

最小.

設直線解析式為，

將代入

得解得

∴直線

∵解得：

∴點坐標為.