Question

17．如圖，已知E、F分別為平行四邊形ABCD的對邊AD、BC上的點，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于點O，求證：
（1）EM=FN；   
（2）EF與MN互相平分．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，得出∠EAM=∠FCN，AE=CF，由AAS證明△AEM≌△CFN，得出對應邊相等即可；
（2）連接EN、FM，求出EM=FN，EM∥FN，得出平行四邊形EMFN，根據平行四邊形的性質得出即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAM=∠FCN，
∵DE=BF，
∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，
在△AEM和△CFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠∠FCN}&{\;}\\{∠AME=∠CNF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△CFN（AAS），
∴EM=FN；
（2）連接EN、FM，如圖所示：
∵EM⊥AC，FN⊥AC，
∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，
∴EM∥FN，
又∵由（1）得EM=FN，
∴四邊形EMFN是平行四邊形，
∴EF與MN互相平分．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵解．