Question

【題目】已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．

（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

（2）k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）k=3或4，△ABC的周長為14或16．

【解析】

試題分析：（1）根據題意得出AB、AC的長，再由根與系數的關系得出k的值；

（2）根據等腰三角形的性質，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數的關系得出k的值．

試題解析: （1）∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BC=5，

∴AB2+AC2=25，

∵AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根，

∴AB+AC=2k+3，ABAC=k2+3k+2，

∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2ABAC，

即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，

解得k=2或-5（不合題意舍去）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；

∴當AB=AC時，△=b2-4ac=0，

∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0

解得k不存在；

當AB=BC時，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4，

∴AC=4或6

∴△ABC的周長為14或16．