Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點B在x軸上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直線y＝﹣3x﹣4與反比例函數y＝交于點A，交y軸于C點．

（1）求k的值；

（2）點D與點O關于AB對稱，連接AD、CD，證明△ACD是直角三角形；

（3）在（2）的條件下，點E在反比例函數圖象上，若S△OCE＝S△OCD，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）-4；（2）見解析；（3）點E的坐標為（﹣4，1）．

【解析】

（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征求出點A的坐標，利用待定系數法求出k；
（2）先求出點D的坐標，求出∠ADB=45°，∠ODC=45°，從而得解；
（3）設出點E的坐標，根據三角形的面積公式解答．

（1）設點B的坐標為（a，0），

∵∠ABO＝90°，AB＝BO，

∴點A的坐標為（a，﹣a），

∵點A在直線y＝﹣3x﹣4上，

∴﹣a＝﹣3a﹣4，

解得，a＝﹣2，

即點A的坐標為（﹣2，2），

∵點A在反比例函數y＝上，

∴k＝﹣4；

（2）∵點D與點O關于AB對稱，

∴點D的坐標為（﹣4，0）

∴OD＝4，

∴DB＝BA＝2，

則∠ADB＝45°，

∵直線y＝﹣3x﹣4交y軸于C點，

∴點C的坐標為（0，﹣4），

∴OD＝OC，

∴∠ODC＝45°，

∴∠ADC＝∠ADB+∠ODC＝90°，

即△ACD是直角三角形；

（3）設點E的坐標為（m，﹣），

∵S△OCE＝S△OCD，

∴×4×4＝×4×（﹣m），

解得，m＝﹣4，

∴﹣=1，

∴點E的坐標為（﹣4，1）．