Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸交于A、B兩點，其中點A（﹣1，0），拋物線與y軸交于點C，頂點為D．

（1）如圖2，直線l是拋物線的對稱軸，點P是直線l上一動點，是否存在點P，使△PBC是直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

（2）如圖3，連接BC，點M是直線BC上方的拋物線上的一個動點，當△MBC的面積最大時，求△MBC的面積的最大值；點N是線段BC上的一點，求MN+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）存在，點P的坐標為：（1，4）或（1，﹣2）或（1，）或（1，）；（2）

【解析】

（1）函數的對稱軸x＝﹣＝1，則點B（3，0），即可求解；

（2）分PB為斜邊、PC為斜邊、BC為斜邊三種情況，分別求解即可；

（3）△MBC的面積S＝×MN′×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x）＝﹣3x2+x，﹣3＜0，故S有最大值為，此時點M（，）；HN′＝BN′，MN+BN最小值＝MN′+N′H＝MH，即點N′為所求的點N，即可求解．

（1）函數的對稱軸x＝﹣＝1，則點B（3，0），

則拋物線的表達式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

存在，理由：

設：點P（1，m），

則PB2＝m2+4，PC2＝（m﹣3）2+1，BC2＝18，

①當PB為斜邊時，則m2+4＝（m﹣3）2+1+18，解得：m＝4；

②當PC為斜邊時，同理可得：m＝﹣2；

③當BC為斜邊時，同理可得：m＝；

故點P的坐標為：（1，4）或（1，﹣2）或（1，）或（1，）；

（2）過點M作MN⊥x軸于點H，交BC于點N′，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，則∠CBA＝45°，

設點M（x，﹣x2+2x+3），則點N′（x，﹣x+3），

△MBC的面積S＝×MN′×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x）＝﹣3x2+x，

∵﹣3＜0，故S有最大值為，此時點M（，）；

HN′＝BN′，

MN+BN最小值＝MN′+N′H＝MH，即點N′為所求的點N，

故MN+BN最小值為＝MH＝yM＝．