Question

【題目】如圖，六邊形是正六邊形，點是邊的中點，分別與交于點，則四邊形MCDN的值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設BE的中點為O，則O為正六邊形ABCDEF的中心，過點O作OQ⊥CD于Q，連接AC交BE于G，連接FD交BE于H，根據六邊形是正六邊形得到正六邊形的邊長都相等，各內角都相等，都等于120°，從而得到∠BAC=∠BCA=30°，∠AGB=∠CGB=∠FHB=∠DHE=90°，AG=CG，所以∠CAF=∠AFD=∠CDF=∠GCD=∠OGC=90°，根據直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，得到AB=2BG，可以得到四邊形ACDF和四邊形OGCQ都是矩形，所以AF∥GH∥CD，AF=GH=CD，OQ=CG=AG，設BG=a，則AB=2a，AP=AF=AB=×2a=a，CD=AB=a，CD=AB=2a，GH=AF=2a，根據GM∥AP得到△CGM∽△CAP和△DHN∽△DFP，可得GM=AP=a，NH=PF=a，根據線段的和差可以求出BM，MN，AG，CD的長，根據三角形面積公式和梯形面積公式即可求出S△PBM和S四邊形MCDN的面積，從而得到它們的比值．

解：設BE的中點為O，則O為正六邊形ABCDEF的中心，過點O作OQ⊥CD于Q，連接AC交BE于G，連接FD交BE于H，如圖：

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，P是AF的中點

∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠BAF=120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF，BE平分∠ABC，EB平分∠DEF，AP=PF

∴∠BAC=∠BCA==30°，∠AGB=∠CGB=∠FHB=∠DHE=90°，AG=CG

∴AB=2BG，∠CAF=∠AFD=∠CDF=∠GCD=∠OGC=90°

∴四邊形ACDF和四邊形OGCQ都是矩形

∴AF∥GH∥CD，AF=GH=CD，OQ=CG=AG

設BG=a，則AB=2a

∴AP=AF=AB=×2a=a，CD=AB=a，CD=AB=2a，GH=AF=2a

∵GM∥AP

∴△CGM∽△CAP

∴

∴GM=AP=a

同理可得NH=PF=a，

∴BM=BG+GM=a+a=a，MN=GH-GM-NH=2a-a-a=a

在Rt△ABG中，AG=

∴OQ=GC=AG=

∴=

故選A．