Question

7．對于平面直角坐標系中的任意兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我們把d（P₁，P₂）=|x₁-x₂|y₂-y₂|叫做P₁、P₂兩點間的直角距離．
（1）已知點A（1，1），點B（3，4），則d（A，B）=5．
（2）已知點E（a，a），點F（2，2），且d（E，F）=4，則a=0或4．
（3）已知點M（m，2），點N（1，0），則d（M，N）的最小值為2．
（4）設P₀（x₀，y₀）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P₀，Q）的最小值叫做P₀到直線y=ax+b的直角距離，試求點M（5，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

分析 （1）根據平面直角坐標系中的任意兩點的距離的計算公式計算即可；
（2）根據平面直角坐標系中的任意兩點的距離的計算公式列出算式，根據絕對值的性質計算；
（3）根據平面直角坐標系中的任意兩點的距離的計算公式和絕對值的非負性解答；
（4）根據平面直角坐標系中的任意兩點的距離的計算公式列出算式，分x≤-1、-1＜x≤5和x≥5三種情況，根據絕對值的性質計算即可．

解答 解：（1）點A（1，1），點B（3，4），
則d（A，B）=|3-1|+|4-1|=5，
故答案為：5；
（2）∵點E（a，a），點F（2，2），d（E，F）=4，
∴|2-a|+|2-a|=4，
當a＞2時，a-2+a-2=4，
解得a=4，
當a＜2時，2-a+2-a=4，
解得a=0，
故答案為：0或4；
（3）d（M，N）=|1-m|+|0-2|=|1-m|+2，
∵|1-m|≥0，
∴|1-m|的最小值為0，
則|1-m|+2的最小值為2，即d（M，N）的最小值為2，
故答案為：2．
（4）設點N為直線y=x+2上一點，點N的坐標為（x，x+2），
則d（M，N）=|x-5|+|x+2-1|=|x-5|+|x+1|，
當x≤-1時，d（M，N）=5-x-x-1=-2x+4，
由一次函數的性質可知，d（M，N）的值隨x的增大而減小，
當x=-1時，d（M，N）的最小值是6；
當-1＜x≤5時，d（M，N）=5-x+x+1=6；
當x≥5時，d（M，N）=x-5+x+1=2x-4，
由一次函數的性質可知，d（M，N）的值隨x的增大而增大，
當x=5時，d（M，N）的最小值是6，
綜上所述，點M（5，1）到直線y=x+2的直角距離為6．

點評 本題考查的是平面直角坐標系中的任意兩點的距離的計算以及一次函數的性質，正確理解新定義是解題的關鍵，對于一次函數y=kx+b，當k＞0時，y隨x的增大而增大，k＜0時，y隨x的增大而減�。�