Question

【題目】如圖，在中，，，為中點，點在延長線上，，，，交于點．

（1）若，求的度數；

（2）求證：；

（3）設交于點．

①若，，求的值；

②連結，分別記，，的面積為，，，當時， ．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①；②．

【解析】

（1）根據∠AOB=∠OBC+∠OCB，只要求出∠OBC，∠OCB即可．

（2）想辦法證明CG⊥AE即可解決問題．

（3）①如圖2中，作MH⊥CE于H，解直角三角形求出AG，GM，ME即可解決問題．

②如圖3所示：連接DE．首先證明四邊形OCED是平行四邊形，再證明EC=2DG，利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

解：（1）∵，，

∴，．

∵，

∴．

∵，為中點，

∴．

∴．

∴．即．

∴．

（2）連結（如圖1）．

∵，，

∴．

∵，

∴四邊形為矩形．

∴．

∵，

∴．

（3）①作于（如圖2）．

由，，

則四邊形是平行四邊形，

∴．

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

②如圖3所示：連接DE．

∵OA=OC，∠ABC=90°，

∴BO=OA=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵AE∥BC，

∴∠CAE=∠ACB，∠AGO=∠OBC，

∵CA=CE，

∴∠CAE=∠CAE，

∴∠AGB=∠AEC，

∴AD∥CE，

∵DE∥AC，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∴OD=CE=CA，

∵∠OAG=∠OGA，

∴OA=OG，

∴OA=OC=OG=DG，

∵DG∥EC，

∴，

∴，

設S2=m，則S3=2m，

∴S△DGE=3m，

∵OG=GD，∠AGO=∠DGE，∠OAG=∠DEG，

∴△AGO≌△EGD（AAS），

∴S△AOG=S△DEG=3m，

∵OB=OG，

∴S△ABG=2S△AOG=6m，

∴S1：S2：S3=6m：m：2m=6：1：2．

故答案為：6：1：2．